Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）的圖象與函數(shù)的圖象總相切于一個(gè)定點(diǎn).

① 求與的值；

② 對(duì)上的任意實(shí)數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②．

【解析】試題分析：

(1)由奇函數(shù)的 定義得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程可得a=0；

(2)由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的 切線可得切點(diǎn)為，切線的方程為，則.

(3)由題意分類討論 和兩種情況可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，

即，得恒成立，

.

（2）①，設(shè)切點(diǎn)為，

則切線的斜率為，

據(jù)題意是與無關(guān)的常數(shù)，故，切點(diǎn)為， 由點(diǎn)斜式得切線的方程為，即，故.

② 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有;

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有;

故對(duì)恒成立，或對(duì)恒成立.

而，設(shè)函數(shù).

則對(duì)恒成立，或對(duì)恒成立， ，

當(dāng)時(shí), ,,恒成立,所以在上遞增, ,

故在上恒成立，符合題意. 當(dāng)時(shí)，令，得，令，得,

故在上遞減，所以，

而設(shè)函數(shù)，

則， 恒成立，

在上遞增， 恒成立，

在上遞增， 恒成立，

即，而，不合題意.

綜上，知實(shí)數(shù)的取值范圍.