19．若對任意x＞0，$\frac{x}{{{x^2}+3x+1}}$≤a恒成立，則a的最小值是（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{5}$D．$\frac{1}{6}$

分析 根據(jù)基本不等式，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最大值即可得到結論．

解答 解：$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴x+3+$\frac{1}{x}$≥3+2 $\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=3+2=5，當且僅當x=$\frac{1}{x}$，
即x=1時取等號，
∴0＜$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{5}$，
∴要 $\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
則a≥$\frac{1}{5}$，
故a的最小值為$\frac{1}{5}$，
故選：C．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，將條件轉化為基本不等式形式是解決本題的關鍵．

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A．-$\frac{1}{2}$B．-$\frac{1}{4}$C．-$\frac{1}{8}$D．-$\frac{1}{16}$

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