Question

設(shè)函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值；

（2）當時，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)方程的根，對此根與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點，并確定函數(shù)的單調(diào)性，得到，消去并化簡得到，通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合，得到，從而求出的值.

（1），，

令得. 因為時，，時，，

所以在遞增，在遞減；

①當時，即時，在上遞減，

所以時取最大值；

②當時，即時，在遞增，在遞減，

所以時，取最大值；

③當即時，在遞增，

所以時取最大值；

（2）因為方程有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則，

令，，因為，，

所以（舍去），，

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，

則，即，

所以，即，

設(shè)，

，恒成立，故在單調(diào)遞增，

至多有一解，

又，所以，即，解得.

考點：1.分類討論；2.函數(shù)的最值；3.函數(shù)的零點