Question

13．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，d為數(shù)列{a_n}的公差，若對任意n∈N^*，都有S_n＞0，且a₂a₄=9，則d的取值范圍為$[0，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 對任意n∈N^*，都有S_n＞0，可得：a₁＞0，d≥0．由于a₂a₄=9，化為3d²+4a₁d+${a}_{1}^{2}$-9=0，△＞0，而且兩根之和=-4d＜0，而必須至少有一個正實數(shù)根．可得3d²-9≤0，d≥0，解出即可得出．

解答 解：對任意n∈N^*，都有S_n＞0，∴a₁＞0，d≥0．
∵a₂a₄=9，
∴（a₁+d）（a₁+3d）=9，
化為${a}_{1}^{2}$+4a₁d+3d²-9=0，
△=16d²-4（3d²-9）=4d²+36＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
并且兩根之和為-4d＜0，而必須至少有一個正實數(shù)根．
d=$\sqrt{3}$時，a₁=0，舍去．
則d的取值范圍為$[0，\sqrt{3}）$．
故答案為：$[0，\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．