Question

若正數項數列的前項和為，首項，點，在曲線上.

（1）求，；

（2）求數列的通項公式；

（3）設,表示數列的前項和，若恒成立，求及實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1);(2);(3).

【解析】

試題分析：(1)根據已知點，在曲線上，代入曲線，得到與的關系，再根據,分別取和代入關系式，得到關于與的方程組，解方程，得到結果；（2）由（1）得的，因為是正項數列，所以兩邊開方，得與的地推關系式，從而判定數列形式，得出的通項公式,再根據,得出的通項公式；（3）代入的通項公式得到，然后裂項，經過裂項相消，得到的前項和，，通過分離常數可以判定的單調性，求出最值，若恒成立，那么,得到的范圍.此題計算相對較大，屬于中檔題.

試題解析：（1）解：因為點，在曲線上，所以.

分別取和，得到，

由解得，. 4分

（2）解：由得.

數列是以為首項，為公差的等差數列，所以， 6分

由，當時，，

所以. 8分

（3）解：因為，

所以， 11分

顯然是關于的增函數， 所以有最小值，

因為恒成立，所以，

因此，實數的取值范圍是，. 13分

考點：1.等差數列的定義；2.已知求;3.裂項相消；4.函數最值.