Question

已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立，則f（2011）=（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、2

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立解出函數(shù)的周期為4及f（1）=f（-1）=1，再由周期性得出f（2011）=f（-1）即可求出f（2011）的值

解答： 解：由f（x+1）•f（x-1）=1知，函數(shù)自變量相差2，函數(shù)值互為倒數(shù)，故函數(shù)周期是4
再令x=0可得f（1）•f（-1）=1，又f（x）＞0恒成立
所以f（1）=f（-1）=1
∵2011=503×4-1
∴f（2011）=f（-1）=1
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分利用恒等式求出函數(shù)的周期以及某些函數(shù)值，利用題設(shè)中的恒等式求出函數(shù)的周期及通過賦值求出f（-1）=1是解題的難點．本題考查了觀察分析的能力及靈活變形的能力．