Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°角，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）若∠A₁DC₁=90°，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，我們根據(jù)等腰三角形三線合一，得到BD⊥AC，結(jié)合側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，我們易得到BD⊥側(cè)面A₁ACC₁，利用線面垂直的定義，即可得到答案．
（II）若∠A₁DC₁=90°，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用余弦定理我們可求出側(cè)棱長(zhǎng)，結(jié)合側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°角，AB=BC=2，∠ABC=120°，我們計(jì)算出棱柱的底面積和高后，即可得到三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答：解：（I）證明：∵AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC
又∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，C底面ABC，
∴BD⊥側(cè)面A₁ACC₁，
又∵AA₁?側(cè)面A₁ACC₁，
∴BD⊥AA₁；
（II）∵∠AA₁D為AA₁與底面ABC所成的角
∴∠AA₁D=60°
設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，由于AC=2

3

則A₁D²=a²+AD²-2a•ADcos60°=a2+3-

3

a
同理則C₁D²=a2+3+

3

a
又由∠A₁DC₁=90°，
則A₁D²+C₁D²=A₁C₁²，即2a2+6=(2

3

)2
∴a=

3

過A₁作A₁O⊥AC，垂足為O，
∵面A₁ACC₁⊥底面ABC，
∴A₁O⊥面ABC
易知A₁O=A₁A•sin60°=

3

•

3

2

=

3

2

∴VABC-A1B1C1=S_△aBC•A₁O=

1

2

•22•sin120°•

3

2

=

3 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積公式，及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中求棱柱體積時(shí)，關(guān)鍵的步驟是求出棱柱的底面積和棱柱的高．