Question

已知f（x）=（sinx+cosx）sinx，若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），對(duì)?x∈R成立，則|x₁-x₂|最小值為（　�。�

• A、

  π

  8

• B、

  π

  4

• C、

  π

  2

• D、π

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意可得f（x₁）為函數(shù)的最小值，f（x₂）為函數(shù)的最大值，故|x₂-x₁|的最小值為半個(gè)周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可得結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）sinx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∵若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），對(duì)?x∈R成立，
∴可得f（x₁）為函數(shù)的最小值，f（x₂）為函數(shù)的最大值，
故|x₂-x₁|的最小值為半個(gè)周期，即

1

2

T=

π

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和值域，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．