Question

20．設(shè)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{π}{8}$，2），由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到相鄰最低點(diǎn)時(shí)，函數(shù)圖形與x的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3π}{8}$，0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{24}$]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)得出A=2，利用最高點(diǎn)與對(duì)稱中心的距離計(jì)算f（x）的周期得出ω，代入最高點(diǎn)坐標(biāo)得出φ的值；
（2）利用x的范圍得出2x+$\frac{π}{4}$的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和最小值計(jì)算m的值，從而得出g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，∴A=2．
∵由最高點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，2）運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)交x軸于（$\frac{3π}{8}$，0），
∴函數(shù)的周期T=4（$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$）=π．
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵f（$\frac{π}{8}$）=2，∴2sin（$\frac{π}{4}$+φ）=2，
∴$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，φ=$\frac{π}{4}$+2kπ．k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+m．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{24}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，g（x）取得最小值2×（-$\frac{1}{2}$）+m=2，∴m=3．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，g（x）取得最大值2×1+m=5．
∴g（x）的最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)解析式的解法，屬于中檔題．