Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+x+b（a≥0）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)．
（1）若f（x）在x=-3處取到極大值-2，求a，b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=e^-ax•f′（x），求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到：f′（x）=x²+ax+1，結合f（x）在x=-3處取到極大值-2可得關于a與b的方程組，進而求出a與b的數(shù)值．
（2）由（1）可得：g′（x）=-x[ax+（a²-2）]e^-ax=-ax[x-（

2

a

-a）]e^-ax，結合解一元二次不等式的知識對a進行分類討論，進而求出函數(shù)的得到區(qū)間．

解答：解：（1）因為f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+x+b（a≥0），
所以f′（x）=x²+ax+1．
因為f（x）在x=-3處取到極大值-2，
所以

f′(-3)=0 f(-3)=-2

，即

9-3a+1=0 -9+ 9 2 a-3+b=-2

，
解得a=

10

3

，b=-5．
（2）由（1）可得：f′（x）=x²+ax+1，
所以g（x）=e^-ax•f′（x）=

x2+ ax+1

eax

（x∈R），
所以g′（x）=-x[ax+（a²-2）]e^-ax=-ax[x-（

2

a

-a）]e^-ax．
①當a=0時，g′（x）=2x，
所以g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，0）．
②當a＞0時，令g′（x）=0解得x=0或x=

2

a

-a．
（i）當

2

a

-a＞0時，即0＜a＜

2

時，
則g′（x）＞0的解集為(0，

2

a

-a)，g′（x）＜0的解集為（-∞，0），（

2

a

-a，+∞），
所以g（x）的單調遞增區(qū)間為(0，

2

a

-a)，單調遞減區(qū)間為（-∞，0），（

2

a

-a，+∞）．
（ii）當

2

a

-a=0，即a=

2

時，則g′（x）=-

2

x2e-

2

x≤0，
所以g（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．
（iii）當

2

a

-a＜0，即a＞

2

時，
則g′（x）＞0的解集為(

2

a

-a，0)，g′（x）＜0的解集為（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．
所以g（x）的單調遞增區(qū)間為(

2

a

-a，0)，單調遞減區(qū)間為（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．
總上所述：
當a=0時，g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，0）．
當0＜a＜

2

時，g（x）的單調遞增區(qū)間為(0，

2

a

-a)，單調遞減區(qū)間為（-∞，0），（

2

a

-a，+∞）．
當a=

2

時，g（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．
當a＞

2

時，g（x）的單調遞增區(qū)間為(

2

a

-a，0)，單調遞減區(qū)間為（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，以及考查含參數(shù)的一元二次不等式問題．