Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=4，DE=2AB=3，且F是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）在線段CE上是否存在點H，使DH⊥平面BCE？若存在，求出

CH

HE

的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）易證四邊形ABGF是平行四邊形，從而得到AF∥平面BCE；
（2）存在，過D在平面CDE內(nèi)作DH⊥CE，垂足為H，則點H即為所求，易證平面BCE⊥平面CDE，在在Rt△CDE中，DE=3，CD=4，CE=5，由射影定理，CH=

16

5

，HE=

9

5

，問題得以解決．

解答： 解：（1）取CE的中點G，連FG，BG，
QF為CD之中點，∴GF∥

1

2

DE，
又由已知AB∥

1

2

DE，
∴GF∥AB且GF=AB，
四邊形ABGF是平行四邊形，
∴BG∥AF，
AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE，
（2）△ACD為正三角形，且F是CD的中點．
∴AF⊥CD，又AB⊥平面ACD，DE∥AB，平面ACD，而AF?平面ACD，
∴AF⊥DE，又DE∩CD=D，
∴AF⊥平面CDE
在（1）中BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE，而BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE，
且平面BCE∩平面CDE=CE，而DH⊥CE．DH?平面CDE，
∴DH⊥平面BCE，
在Rt△CDE中，DE=3，CD=4，
∴CE=5，
由射影定理，CH=

16

5

，HE=

9

5

，
∴

CH

HE

=

16

9

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理以及射影定理，屬于中檔題．