Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成以

1

2

為首項的等比數列，則

m

n

等于（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  3

  2

  或

  2

  3

• C、

  2

  3

• D、以上都不對

Answer 1

考點：等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：設方程x²-mx+2=0兩根分別為x₁，x₄，x²-nx+2=0兩根分別為x₂，x₃，由韋達定理得：x₁x₄=2，x₂x₃=2，x₁+x₄=m，x₂+x₃=n，由此能求出結果．

解答： 解：設方程x²-mx+2=0兩根分別為x₁，x₄，
x²-nx+2=0兩根分別為x₂，x₃，
由韋達定理得：
x₁x₄=2，x₂x₃=2，
x₁+x₄=m，x₂+x₃=n，
若x=

1

2

是方程x²-mx+2=0的根，則x₄=

2

x1

=

2

1 2

=4，
設公比為q，

x4

x1

=q³=

4

1 2

=8，解得q=2，
∴

m

n

=

x1+x4

x2+x3

=

x1+x1q3

x1q+x1q2

=

1+q3

q+q2

=

1+8

2+4

=

3

2

．
同理，若x=

1

2

是方程x²-nx+2=0的根，解得

m

n

=

2

3

．
故選：B．

點評：本題考查兩數比值的求法，是中檔題，解題時要注意韋達定理和等比數列的性質的合理運用．