Question

5．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{2n•a_n}，的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，數(shù)列{a_n}以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）2n•a_n=n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（Ⅰ）由題知a_n+1=2a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n•a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
即-S_n=$\frac{2-{2}^{n}•2}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．