Question

（1）設(shè)拋物線y²=4x截直線y=2x+k所得的弦長(zhǎng)為3

5

，求k的值．
（2）以本題（1）得到的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)做成三角形，當(dāng)這三角形的面積為9時(shí)，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線的方程

y2=4x y=2x+k

，整理，由韋達(dá)定理，算出（x₁-x₂）²，（y₁-y₂）²，再有兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算出弦長(zhǎng)．求出k．
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)p到直線的距離求出三角形的高，再由面積公式代入求解，即得．

解答：解：（1）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
解方程組：

y2=4x y=2x+k

，得（2x+k）²=4x，
即4x²+4（k-1）x+k²=0，
故有x₁+x₂=1-k，x₁x₂=

k2

4

．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(1-k)2-4•

k2

4

=1-2k．
又因P₁，P₂在直線y=2x+k上，故
（y₁-y₂）²=4（x₁-x₂）²=4（1-2k）．
根據(jù)題設(shè)條件

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=3

5

，
即（1-2k）+4（1-2k）=45，解得：k=-4．

（2）設(shè)x軸上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0）又點(diǎn)P到直線P₁P₂的距離為h，則有h=

|2a-4|

5

．
依題意得△PP₁P₂的面積關(guān)系：9=

1

2

•3

5

•

|2a-4|

5

，即6=|2a-4|，
∴a=5，a=-1．

點(diǎn)評(píng)：“設(shè)而不求”仍是圓錐曲線問(wèn)題的常用方法，在第一題的處理中，也可直接用弦長(zhǎng)公式l_AB=

1+k2

|x₁-x₂|．