Question

平面四邊形ABCD，其中AB=AD=1，BC=CD=

2

，AB⊥AD，沿BD將△ABD折起，使得AC=1，則二面角A-BD-C的平面角的正弦值為

6

3

．

Answer 1

分析：將平面四邊形ABCD沿BD將△ABD折起，如圖所示．可以得出△ABC為等腰直角三角形，△BCD為正三角形．設(shè)O為BD中點(diǎn)，得出∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，通過解三角形AOC得出結(jié)果．

解答：解：將平面四邊形ABCD沿BD將△ABD折起，所得圖形如下圖所示：

其中設(shè)O為BD中點(diǎn)，在△ABC中，由于AB=AD=1，AB⊥AD，所以△ABC為等腰直角三角形，斜邊BD=

2

，斜邊中線AO=

1

2

BD=

2

2

，且AO⊥BD
在△BCD中，BC=CD=

2

=BD，所以△BCD為正三角形，CO=

CD2-OD2

=

6

2

，且CO⊥BD，所以∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，根據(jù)余弦定理可得出
cos∠AOC=

AO2+ CO2-AC2

2AO•CO

=

1 2 + 3 2 -1

2 • 2 2 •  6 2

=

3

3

．
∠AOC為銳角，
所以sin∠AOC=

1-cos2∠AOC

=

1- 1 3

=

6

3

故答案為：

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角大小求解．考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．