Question

7．若數(shù)列{a_n}滿足前n項和S_n=2a_n-4（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，變形利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足前n項和S_n=2a_n-4（n∈N^*），∴a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），化為：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為4，公比為2，∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+2b_n，∴b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，∴$\frac{_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴b_n=n•2ⁿ．
（2）數(shù)列{b_n}前n項和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．