Question

13．若函數(shù)f（x）=e^x-kx²+（k-e）x有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （0，e）
• C． [1，e）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f（1）=0，則方程轉(zhuǎn)化為k=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)值的符號(hào)和對(duì)x討論，x＜0，0＜x＜1，x＞1三種情況，判斷單調(diào)性，畫出圖象，即可得到所求k的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-kx²+（k-e）x，
可得f（1）=e-k+k-e=0，
即有x=1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
則e^x-kx²+（k-e）x=0，
即為k=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$，
由y=e^x-ex的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x-e，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，y=e^x-ex遞增；
當(dāng)x＜1時(shí)，y′＜0，y=e^x-ex遞減．
即有x=1處，y=e^x-ex取得最小值，且為0，
即e^x-ex≥0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x²-x＞0，g（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0．
由g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{（{e}^{x}-e）（{x}^{2}-x）-（{e}^{x}-ex）（2x-1）}{（{x}^{2}-x）^{2}}$
=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-3x{e}^{x}+{e}^{x}+e{x}^{2}}{（{x}^{2}-x）^{2}}$，
可設(shè)h（x）=x²e^x-3xe^x+e^x+ex²，
顯然當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（-∞，0）遞增；
又h（x）=xe^x（x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$），
再令m（x）=x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$，
m′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$=（x-1）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{e}^{x}-ex}{x{e}^{x}}$），
即0＜x＜1時(shí)，m（x）遞減；x＞1時(shí)，m（x）遞增．
則m（x）＞m（1）=0，h（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
即有g(shù)′（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
則g（x）在（0，1），（1，+∞）遞增，
畫出函數(shù)y=g（x）的圖象，可得k＞0時(shí)，
函數(shù)y=g（x）的圖象和直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上可得，k＞0時(shí)，f（x）=e^x-kx²+（k-e）x有3個(gè)不同的零點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 不同考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，構(gòu)造函數(shù)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，畫出圖象是解題的關(guān)鍵，屬于難題．