Question

判斷函數(shù)y=x²-2x+1的單調性并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)y是二次函數(shù)，得出y=f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
用定義證明即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²-2x+1=（x-1）²，
是二次函數(shù)，圖象是拋物線，開口向上，對稱軸為x=1；
∴y=f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
用定義證明如下：
任取x₁＜x₂＜1，∴f（x₁）-f（x₂）=(x1-1)2-(x2-1)2=（x₁+x₂-2）（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜1，∴x₁+x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)；
同理可證：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了判斷一元二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了用定義證明函數(shù)的單調性問題，是基礎題．