Question

已知點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，拋物線的焦點(diǎn)為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長為2p；
②若p=2，則|MF|-x₀恒為定值1；
③若2p=1，且△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N在拋物線E上）為正三角形，則|MN|=4

3

；
④若2p=1，則拋物線E上一定存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=-x+3對(duì)稱．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為

①②④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)通徑的定義可知其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為M到準(zhǔn)線的距離，再進(jìn)行判斷；
③設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，解得 m的值，從而求出|MN|的值．
④設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，根據(jù)兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，將兩點(diǎn)代入拋物線方程作差，得到斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，據(jù)點(diǎn)在拋物線上，利用方程組求出對(duì)稱的兩點(diǎn)即可進(jìn)行判斷．

解答：解：①根據(jù)通徑的定義可知，拋物線E的通徑長為2p．其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為M到準(zhǔn)線的距離，
即|MF|-x₀=|MP|-x₀=|PQ|=定值1．故正確；
③設(shè)正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （ m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，
解得 m=

3

，故這個(gè)正三角形的邊長為  2m=2

3

，
故正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為2

3

，③錯(cuò)誤．
 ④：直線l的方程為y=-x+3，設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入拋物線方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴y₁+y₂=1．注意到AB的中點(diǎn)在直線y=-x+3上，
∴x₁+x₂=6-（y₁+y₂）=6-1=5，
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=5，結(jié)合上面的y₁+y₂=1解出

y1=-1 y2=2

或

y1=2 y2=-1

．
故拋物線y²=x上總存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，本小題④解題的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，兩點(diǎn)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．