Question

（2013•德州一模）已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F₁是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₂|=

3

5

．
（1）試求橢圓C₁的方程；
（2）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足

OA

+

OB

=λ

OP

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標，再利用橢圓的定義即可求出；
（2）根據直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑，可得k=

2t

1-t2

，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合橢圓上一點P滿足

OA

+

OB

=λ

OP

，可得到λ²的表達式，進而求出實數(shù)λ的取值范圍

解答：解：（1）令M為（x₀，y₀），因為M在拋物線C₂上，故x₀²=4y₀，①
又|MF₁|=

5

3

，則y₀+1=

5

3

，②
由①②解得x₀=-

2 6

3

，y₀=

2

3

橢圓C₁的兩個焦點為F₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），
點M在橢圓上，由橢圓定義，得
2a=|MF₁|+|MF₂|=

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 -1)2

=4
∴a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C₁的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）∵直線l：y=k（x+t）與圓x²+（y+1）²=1相切
∴

|kt+1|

1+k2

=1，即k=

2t

1-t2

（t≠0）
把y=k（x+t）代入

y2

4

+

x2

3

=1并整理得：
（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有
x₁+x₂=-

6k2t

4+3k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2kt=

8k t

4+3k2

∵λ

OP

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴P（

-6k2t

(4+3k2)λ

，

8k t

(4+3k2)λ

）
又∵點P在橢圓上
∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2 t2

(4+3k2)2λ2

=1
∴λ²=

4k2 t2

4+3k2

=

4

( 1 t2 )2+( 1 t2 ) +1

（t≠0）
∵t²＞0，∴(

1

t2

)2+(

1

t2

) +1＞1
∴0＜λ²＜4
∴λ的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質、向量相等、直線與圓錐曲線的相交問題及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．本題需要較強的計算能力，注意分類討論的思想方法應用．