Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

在R上為奇函數(shù)，f（2）=

2

5

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調性并求其值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意可得

a b =0 2+a 4+b = 2 5

從而解出a，b；代入驗證；
（2）由復合函數(shù)的單調性判斷并由單調性求值域．

解答： 解：（1）由題意，

a b =0 2+a 4+b = 2 5

，解得，a=0，b=1；
經(jīng)驗證，f（x）=

x

x2+1

是R上為奇函數(shù)，
故f（x）=

x

x2+1

．
∵f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

在（0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）=

x

x2+1

在[-1，1]上是增函數(shù)，
則-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，
即f（x）的值域為[-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性應用及函數(shù)的單調性應用與判斷．