Question

設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=2bsinA．
（1）求B的大�。�
（2）當(dāng)B銳角時(shí)，求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0求出sinB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)B為銳角確定出B的度數(shù)，代入后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出所求式子的取值范圍．

解答：解：（1）由正弦定理得：sinA=2sinB•sinA，
∵在△ABC中，sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，
∴B=

π

6

或B=

5π

6

；
（2）∵B為銳角，即B=

π

6

，
∴cosA+sinC=cosA+sin[π-（A+B）]=cosA+sin（

π

6

+A）=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

3

），
∵A∈（0，

5π

6

），
∴A+

π

3

∈（

π

3

，

7π

6

），
∴sin（A+

π

3

）∈（-

1

2

，1]，
∴cosA+sinC的取值范圍為（-

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．