Question

在△ABC中，已知∠A為銳角，f（A）=

(cos2A+1)sinA

2(cos2 A 2 -sin2 A 2 )

+

cos2A+1

2

．
（1）將f（A）化簡成f（A）=Msin（ωA+φ）+N（M＞0，N∈R）的形式；
（2）若f（A-

5

24

π）≥

2

2

+

1

2

恒成立，BC=2，求b+c的取值范圍？

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）直接利用三角函數(shù)的恒等變換求出結(jié)果
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用余弦定理和三邊關(guān)系求出b+c的范圍．

解答： 解：（1）f（A）=

(cos2A+1)sinA

2(cos2 A 2 -sin2 A 2 )

+

cos2A+1

2

=

sin2A

2

+

cos2A+1

2

=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

．      
（2）由條件及（1）得：sin（2A-

π

6

）≥1，
A=

π

3

，
由余弦定理得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
由b+c≥2

bc

，
所以：bc≤

(b+c)2

4

，
代入上式解得：b+c≤4，
又因為：b+c＞a=2，
因此，b+c∈（2，4]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理得應(yīng)用．