Question

12．等差數(shù)列{a_n}的公差為d，關(guān)于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\fracqwa9sbh{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，則使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n最小的正整數(shù)n的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中等差數(shù)列{a_n}的公差為d，關(guān)于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\frac44fms9u{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，根據(jù)不等式解析的形式及韋達(dá)定理，判斷出數(shù)列的首項(xiàng)為負(fù)，公差為正，并得到首項(xiàng)與公差之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)變化分界點(diǎn)，則答案可求．

解答 解：∵不等式${a_1}{x^2}+（{\frac8c6a9wh{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，
∴$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{{a}_{1}-\frac8fj3gns{2}}{{a}_{1}}$，且a₁＜0，
即${a}_{1}=-\frac{15}{4}d＜0$，則${a}_{5}={a}_{1}+4d=-\frac{15}{4}d+4d=\fraclu8l13m{4}＞0$，
∴使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n最小的正整數(shù)n的值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)是數(shù)列的函數(shù)特性，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷出公差為負(fù)，并得到首項(xiàng)與公差之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．