Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；

(3)求＋＋＋…＋的值．

 

Answer 1

（1）41

（2）f(n)＝2n2－2n＋1.

（3）－.

【解析】【解析】
(1)f(5)＝41.

(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

……

由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n，

∴f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1(n≥2)．

又n＝1滿足上式，

所以f(n)＝2n2－2n＋1.

(3)當(dāng)n≥2時(shí)，

＝＝ (－)，

∴＋＋＋…＋

＝1＋ (1－＋－＋－＋…＋－)

＝1＋ (1－)

＝－.