已知
a
=(4sinx,-2
3
)
,
b
=(cosx,cos2x-sin2x).
(1)若
a
b
,求x的取值范圍;
(2)f(x)=
a
b
+1,當(dāng)x∈(
π
3
,
6
)
時,求函數(shù)f(x)的值域.
分析:(1)由題意得
a
b
=0,代入
a
b
的坐標(biāo)并化簡可得tan2x=
3
,結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案;
(2)利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換公式,化簡整理得f(x)=4sin(2x-
π
3
)+1
,再由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合x∈(
π
3
,
6
)
加以計算,即可得到函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1)由
a
b
a
b
=0,即
a
b
=4sinx•cosx-2
3
(cosx2-sinx2)=0
,
∴2sin2x-2
3
cos2x=0,
sin2x=
3
cos2x
,可得tan2x=
3
,
因此,2x=
π
3
+kπ
(k∈Z),
可得x=
2
+
π
6

∴x的取值范圍是{x|x=
2
+
π
6
,k∈Z},
(2)f(x)=
a
b
+1=4sinx•cosx-2
3
(cosx2-sinx2)+1

=2sin2x-2
3
cos2x+1
=4(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)+1
=4sin(2x-
π
3
)+1
,
x∈(
π
3
,
6
)
,可得2x-
π
3
∈(
π
3
,
3
)
,
∴當(dāng)2x-
π
3
∈(
π
3
,
π
2
)
時,即x∈(
π
3
12
)
時,函數(shù)f(x)為遞增函數(shù),
x∈[
12
,
6
)
時函數(shù)f(x)為遞減函數(shù).
由此可得sin(2x-
π
3
)∈(-
3
2
,1]
,
∴函數(shù)f(x)的值域為(1-2
3
,5]
點評:本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo),求函數(shù)f(x)=
a
b
+1的值域.著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三個函數(shù)①y=x+
4
x
,②y=sinx+
4
sinx
(0<x<π),③y=log3x+logx81(x>1),其中函數(shù)的最小值為4的函數(shù)是(  )
A、①B、②C、③D、①②③都不是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(1-tanx,4sinx),
b
=(1+sin2x+cos2x,-
3
cosx),f(x)=
a
b
,求f(x)的最大、最小值及相應(yīng)的x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosx,4sinx-2),
b
=(8sinx,2sinx+1)
,x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)在△ABC中,A為銳角,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面積為3,b+c=2+3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知
a
=(1-tanx,4sinx),
b
=(1+sin2x+cos2x,-
3
cosx),f(x)=
a
b
,求f(x)的最大、最小值及相應(yīng)的x的值.

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