Question

如圖，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連接PB、PC．
（1）求證：PB⊥BC；
（2）在線段PB上找一點(diǎn)E，使AE∥平面PCD；
（3）求二面角A-CD-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證BC⊥PB，先證BC⊥平面PAB，可證PA⊥BC，PA∩AB=A，BC⊥BA，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得；
（2）取線段PB的中點(diǎn)E，連接AE，PR，可證得AE∥平面PRC，平面PRC即是平面PDC；
（3）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF，可證∠AFP是二面角A-CD-P的平面角，在三角形AFP中求出∠AFP的余弦值即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，
∴AD∥

1

2

BC．（1分）
∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA⊥BC．（2分）
又∵PA∩AB=A，BC⊥BA，
∴BC⊥平面PAB，（3分）
∴BC⊥PB．（4分）
（2）取線段PB的中點(diǎn)E，連接AE，PR．（5分）
顯然，平面PAB∩平面PCD=PR．
∵RA=BA，BE=PE，
∴AE∥PR．（6分）
又∵AE?平面PRC，
∴AE∥平面PRC（即平面PDC），（7分）
故線段PB的中點(diǎn)E是符合題意要求的點(diǎn)．（8分）
（3）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF．（9分）
∵RA=AD=1，AP⊥AR且AP⊥AD，AP=1，
∴PR=PD=

2

，
∴AF⊥DR，PF⊥DR，
∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．（11分）
∵DR=

2

，
∴AF=

2

2

，PF=

6

2

，
∴cos∠AFP=

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．