Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），f（x）=

-x2+1  -1≤x≤1 log2(-|x-2|+2) ，1＜x≤3

，若關(guān)于x的方程f（x）-ax=0有5個(gè)不同實(shí)根，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B、(

  1

  6

  ，

  1

  4

  )
• C、(16-6

  7

  ，

  1

  6

  )
• D、(

  1

  6

  ，8-2

  15

  )

Answer 1

分析：由f（x）-ax=0得f（x）=ax，根據(jù)函數(shù)f（x）的周期性，分別作出函數(shù)y=f（x）和y=ax的圖象，利用方程有5個(gè)不同的實(shí)根，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：當(dāng)1＜x≤2時(shí)，-|x-2|+2=x-2+2=x，此時(shí)f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂x，
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，-|x-2|+2=-（x-2）+2=-x+2+2=4-x，此時(shí)f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂（4-x），
∵f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)的周期是4，
由f（x）-ax=0得f（x）=ax，
設(shè)函數(shù)y=f（x）和y=ax，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使方程f（x）-ax=0有5個(gè)不同實(shí)根，
即函數(shù)y=f（x）和y=ax有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
則由圖象可知當(dāng)直線y=ax經(jīng)過點(diǎn)B（6，1）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)由1=6a，解得a=

1

6

，
當(dāng)直線y=ax，在A處與f（x）相切時(shí)，此時(shí)兩個(gè)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
∵當(dāng)3≤x≤5時(shí)，-1≤x-4≤1，
此時(shí)f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，
由f（x）=ax，得-（x-4）²+1=ax，
整理得x²+（a-8）x+15=0，
則由△=（a-8）²-4×15=0，
得△=（a-8）²=60，
即a-8=±

60

=±2

15

，
∴a=8±2

15

，
此時(shí)方程的根x=-

a-8

2

∈(3，4)，
解得0＜a＜2，
∴此時(shí)a=8-2

15

，
∴滿足條件的a的取值范圍是

1

6

＜a＜8-2

15

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．本題難度較大，綜合性較強(qiáng)．