Question

已知函數(shù)y=3x+

13

4

的圖象上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），其中數(shù)列{x_n}為等差數(shù)列，滿足x₂=-

7

2

，x₅=-

13

2

．
（Ⅰ）求點P_n的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若拋物線列C₁，C₂，…，C_n分別以點P₁，P₂，…，P_n為頂點，且任意一條的對稱軸均平行于y軸，C_n與y軸的交點為A_n（0，n²+1），記與拋物線C_n相切于點A_n的直線的斜率為k_n，求數(shù)列{

1

kn+1kn

}前n項的和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{x_n}的公差為d，可得d=

x5-x2

3

，利用等差數(shù)列的通項公式可得x_n，進而得到y(tǒng)_n．
（II）由題意可設(shè)以P_n為頂點的拋物線C_n的方程為：y=a(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，由于C_n與y軸的交點為A_n（0，n²+1），代入解得a=1，可得以P_n為頂點的拋物線方程為：y=(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再利用“裂項求和”即可得出S_n．

解答： 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{x_n}的公差為d，
∵x₂=-

7

2

，x₅=-

13

2

，
∴d=

x5-x2

3

=

- 13 2 -(- 7 2 )

3

=-1．
∴x_n=x₂+（n-2）d=-

7

2

-（n-2）=-

2n+3

2

．
∴y_n=3xn+

13

4

=-

5+12n

4

．
∴P_n(-

2n+3

2

，-

5+12n

4

)．
（II）由題意可設(shè)以P_n為頂點的拋物線方程為：y=a(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
∵C_n與y軸的交點為A_n（0，n²+1），
∴n²+1=a(

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
解得a=1，
∴以P_n為頂點的拋物線方程為：y=(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
y′=2(x+

2n+3

2

)，
∴y′（x=0）=2n+3=k_n，
∴k_n+1=2n+5．
∴

1

kn•kn+1

=

1

(2n+3)(2n+5)

=

1

2

(

1

2n+3

-

1

2n+5

)，
∴數(shù)列{

1

kn+1kn

}前n項的和S_n=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)+…+(

1

2n+3

-

1

2n+5

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+5

)
=

n

10n+25

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、拋物線的切線方程、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．