Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（0，1），矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），且其面積為8．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，若P點為拋物線上不同于A的一點，連接PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．

①求證：PB=PS；

②判斷△SBR的形狀；

③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似？若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 

 

（2）①過點B作BN⊥PS，垂足為N，可以設(shè)P的坐標(biāo)是（a，a2+1），根據(jù)勾股定理就可以用a表示出PB=PS的長，由此可以證明；

②判斷△SBR的形狀，根據(jù)①同理可知BQ=QR，根據(jù)等邊對等角就可以證明∠SBR=90度，則△SBR為直角三角形；

③若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等就可以求出．

解答： 解：（1）方法一：

∵B點坐標(biāo)為（0.2），

∴OB=2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4．

∴C點坐標(biāo)為（﹣2，2）．F點坐標(biāo)為（2，2）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．

其過三點A（0，1），C（﹣2.2），F(xiàn)（2，2）．

得，

解這個方程組，得a=，b=0，c=1，

∴此拋物線的解析式為y=x2+1．（3分）

方法二：

∵B點坐標(biāo)為（0.2），

∴OB=2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4．

∴C點坐標(biāo)為（﹣2，2），

根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c．

其過點A（0，1）和C（﹣2.2）

解這個方程組，得a=，c=1

此拋物線解析式為y=x2+1．

 

（2）①證明：如圖（2）過點B作BN⊥PS，垂足為N．

∵P點在拋物線y=x2+1上．可設(shè)P點坐標(biāo)為（a，a2+1）．

∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a．

∴PN=PS﹣NS=，

在Rt△PNB中．

PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2

∴PB=PS=．（6分）

②根據(jù)①同理可知BQ=QR．

∴∠1=∠2，

又∵∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

同理∠SBP=∠5（7分）

∴2∠5+2∠3=180°

∴∠5+∠3=90°

∴∠SBR=90度．

∴△SBR為直角三角形．（8分）

③方法一：如圖（3）作QN⊥PS，

設(shè)PS=b，QR=c，

∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b﹣c．

∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2

∴．（9分）

假設(shè)存在點M．且MS=x，則MR=．

若使△PSM∽△MRQ，

則有．

即x2﹣2x+bc=0

∴．

∴SR=2

∴M為SR的中點．（11分）

若使△PSM∽△QRM，

則有．

∴．

∴．

∴M點即為原點O．

綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時．△PSM∽△MRQ；

當(dāng)點M為原點時，△PSM∽△MRQ．（13分）

方法二：

若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，

∵∠PSM=∠MRQ=90°，

∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況．

當(dāng)△PSM∽△MRQ時．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．

由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知∠PMS+∠QMR=90度．

∴∠PMQ=90度．（9分）

取PQ中點為T．連接MT．則MT=PQ=（QR+PS）．（10分）

∴MN為直角梯形SRQP的中位線，

∴點M為SR的中點（11分）

∴=1

當(dāng)△PSM∽△QRM時，

∴QB=BP

∵PS∥OB∥QR

∴點M為原點O．

綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時，△PSM∽△MRQ；

當(dāng)點M為原點時，△PSM∽△QRM．（13分）