Question

在△ABC中，A、B、C為三角形的三個(gè)內(nèi)角，且滿足條件sin（C-A）=1，sinB=

1

3

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若AC=

6

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用A=

π

4

-

B

2

可知sinA=sin(

π

4

-

B

2

)，利用兩角和公式可得sinA=

2

2

(cos

B

2

-sin

B

2

)兩邊同時(shí)平方求得sinA．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得cosA，和cosB，進(jìn)而利用兩角和公式求得sinC，進(jìn)而利用正弦定理求得BC，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）sin（C-A）=1，又-π＜C-A＜π，
∴C-A=

π

2

，
又A+B+C=π，
∴A=

π

4

-

B

2

，
∴sinA=sin(

π

4

-

B

2

)=

2

2

(cos

B

2

-sin

B

2

)，
∴sin2A=

1

2

(1-sinB)=

1

3

，
又sinA＞0，
∴sinA=

3

3

．
（Ⅱ）由C-A=

π

2

易知A、B都是銳角，
∴cosA=

6

3

，cosB=

2 2

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

，
由正弦定理可知

AC

sinB

=

BC

sinA

∴BC=

ACsinA

sinB

=

6 • 3 3

1 3

=3

2

，
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．涉及了正弦定理，三角形面積公式和兩角和公式，綜合性很強(qiáng)．