Question

如圖，兩個(gè)圓形飛輪通過(guò)皮帶傳動(dòng)，大飛輪O1的半徑為2r(r為常數(shù))，小飛輪O2的半徑為r，O1O2＝4r.在大飛輪的邊緣上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，滿足∠BO1A＝，在小飛輪的邊緣上有點(diǎn)C.設(shè)大飛輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傳動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)B，C在水平直線O1O2上．

(1)求點(diǎn)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A，C間的距離；

(2)求點(diǎn)B，C在傳動(dòng)過(guò)程中高度差的最大值．

 

Answer 1

（1）·r. （2）r.

【解析】【解析】
(1)以O(shè)1為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A繞O1轉(zhuǎn)過(guò)，則點(diǎn)C繞O2轉(zhuǎn)過(guò).

此時(shí)A(0,2r)，C(r，r)．

∴AC＝＝·r.

(2)由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，

則小飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2θ，其中θ∈[0,2π]．

此時(shí)B(2rcos θ，2rsin θ)，C(4r＋rcos 2θ，rsin 2θ)．

記點(diǎn)B，C的高度差為d，則d＝|2rsin θ－rsin 2θ|，

即d＝2r|sin θ－sin θcos θ|.

設(shè)f(θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]，

則f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．

令f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－或1，則θ＝，，0或2π.

f(θ)和f′(θ)隨θ的變化情況如下表：

θ	0						2π
f′(θ)		＋	0	－	0	＋
f(θ)	0	?	極大值 f	?	極小值 f	?	0

 

∴當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)取得極大值；當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)取得極小值－.

綜上所述，點(diǎn)B，C在傳動(dòng)過(guò)程中高度差的最大值dmax＝r.