設(shè)二次函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),有恒成立;數(shù)列滿足.
(1)求函數(shù)的解析式和值域;
(2)證明:當(dāng)時(shí),數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列;
(3)已知,是否存在非零整數(shù),使得對(duì)任意,都有
恒成立,若存在,求之;若不存在,說(shuō)明理由.
(1),值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/3/a62cz1.png" style="vertical-align:middle;" />;(2)證明見(jiàn)解析;(3)存在,且.
解析試題分析:(1)這是一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題,把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立,那么這一定是二次不等式,恒成立的條件是可解得,從而得到的解析式,其值域也易求得;(2)要證明數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列,即證,也即,根據(jù)的定義,可把化為關(guān)于的二次函數(shù),再利用,可得結(jié)論;(3)這是一道存在性問(wèn)題,解決問(wèn)題的方法一般是假設(shè)存在符合題意的結(jié)論,本題中假設(shè)存在,使不等式成立,為了求出,一般要把不等式左邊的和求出來(lái),這就要求我們要研究清楚第一項(xiàng)是什么?這個(gè)和是什么數(shù)列的和?由,從而,
,不妨設(shè),則(),對(duì)這個(gè)遞推公式我們可以兩邊取對(duì)數(shù)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,這是數(shù)列的遞推公式,可以變?yōu)橐粋(gè)等比數(shù)列,方法是上式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ec/b/9mi2a.png" style="vertical-align:middle;" />,即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式易求,反過(guò)來(lái),可求得,從而求出不等式左邊的和,化簡(jiǎn)不等式.
試題解析:(1)由恒成立等價(jià)于恒成立,
從而得:,化簡(jiǎn)得,從而得,所以,
3分
其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/7/16xf44.png" style="vertical-align:middle;" />. 4分
(2)解:
6分
, 8分
從而得,即,所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列. 10分
(3)由(2)知,從而;
,即;
12分
令,則有且;
從而有,可得,所以數(shù)列是為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,
從而得,即,
所以 ,
所以,所以,
所以,
.
即,所以,恒成立. 15分
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值為. 16分
當(dāng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對(duì)一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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在邊長(zhǎng)為10的正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn),,作于,于,求矩形面積的最小值和最大值,并指出取最大值時(shí)的具體位置.
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設(shè)函數(shù)()
(Ⅰ)若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),求a的值;
(Ⅱ)若不等式對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明.
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已知增函數(shù)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),其中,a為正整數(shù),且滿足.
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵求滿足的的范圍;
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設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R
(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;
(Ⅱ)若的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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已知函數(shù)
(1)用定義證明在上單調(diào)遞增;
(2)若是上的奇函數(shù),求的值;
(3)若的值域?yàn)镈,且,求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)定義運(yùn)算 若函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)畫(huà)出的圖像,并指出單調(diào)區(qū)間、值域以及奇偶性.
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