Question

19．甲乙兩人進行象棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分．若其中的一方比對方多得2分或下滿5局時停止比賽．設甲在每局中獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙在每局中獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，且各局勝負相互獨立．
（1）求沒下滿5局甲即獲勝的概率；
（2）設比賽停止時已下局數為ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）沒下滿5局甲即獲勝有兩種情況：①是兩局后甲獲勝，②是四局后甲獲勝，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲獲勝的概率．
（2）依題意，ξ的所有取值為2，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）沒下滿5局甲即獲勝有兩種情況：
①是兩局后甲獲勝，此時p₁=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
②是四局后甲獲勝，此時p₂=（${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$）×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，
∴甲獲勝的概率p=p₁+p₂=$\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$=$\frac{52}{81}$．
（2）依題意，ξ的所有取值為2，4，5，
設前4局每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為：
（$\frac{2}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
若該輪結束時，比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時，該輪比賽結果對下輪比賽結果是否停止沒有影響，
從而有：
P（ξ=2）=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=4）=$\frac{4}{9}×\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$，
P（ξ=5）=$（\frac{4}{9}）^{2}$=$\frac{16}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴Eξ=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}$=$\frac{250}{81}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用．