Question

已知曲線f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1），則在該曲線上點(diǎn)（x₀，f（x₀））處切線斜率的最小值為（　�。�

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式求出導(dǎo)數(shù)的最小值，即得到曲線斜率的最小值．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-2x+

16

(x-1)2

，
∴在該曲線上點(diǎn)（x₀，f（x₀））處切線斜率 k=x₀²-2x₀+

16

(x0-1)2

，
即k=（x₀-1）²+

16

(x0-1)2

-1，
由函數(shù)的定義域知 x₀＞1，即x₀-1＞0，
∴k≥2

(x0-1)2• 16 (x0-1)2

-1=7，當(dāng)且僅當(dāng)（x₀-1）²=

16

(x0-1)2

，即x₀=3 時(shí)，等號(hào)成立．
∴k的最小值為7．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線斜率與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．