Question

設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求直線AB方程；

（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

 

Answer 1

(1) (2) （3）是，理由見解析

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)題意已知,則利用雙曲線a,b,c之間的關(guān)系與離心率的定義即可求出的值,進而得到雙曲線的標準方程.

(2)根據(jù)題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點差法利用弦的中來求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點坐標,再利用直線的點斜式即可求出弦所在直線的方程.

(3)由(2)可得AB直線的方程,聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點的坐標,已知AB線段的斜率與中點即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯(lián)立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點的坐標.

試題解析：

（1）依題意得，解得a=1. （1分）

所以， （2分）

故雙曲線C的方程為. （3分）

（2）設(shè)，則有 .

兩式相減得： ， （4分）

由題意得，，， （5分）

所以，即. （6分）

故直線AB的方程為. （7分）

（3）假設(shè)A、B、C、D四點共圓，且圓心為P. 因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M. （8分）

下面只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

由得：A（-1，0），B（3，4）. （9分）

由（1）得直線CD方程：， （10分）

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+）， （11分）

所以CD的中點M（-3，6）. （12分）

因為，，

，， （13分）

所以，

即 A、B、C、D四點在以點M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上. （14分）

考點：雙曲線 直線與圓錐曲線 弦長 共圓