Question

16．若F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁的直線交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，若|AF₁|=3|F₁B|，BF₁⊥BF₂，則雙曲線C的漸近線方程是y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由BF₁⊥BF₂，可得B為圓x²+y²=c²與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點(diǎn)，解得B的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率，由a，b，c的關(guān)系，可得漸近線方程．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由BF₁⊥BF₂，
可得B為圓x²+y²=c²與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點(diǎn)，
求得B，不妨設(shè)為（-$\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$，-$\frac{^{2}}{c}$），
由|AF₁|=3|F₁B|，可得$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，
可得-c-x_A=3（-$\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$+c），
又0-y_A=3（（-$\frac{^{2}}{c}$-0），
解得x_A=$\frac{3a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}-4{c}^{2}}{c}$，y_A=$\frac{3^{2}}{c}$，
將A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得
$\frac{（3a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}-4{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{9^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由b²=c²-a²，代入化簡(jiǎn)可得，
2c⁴-7a²c²+5a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得2e⁴-7e²+5=0，
解得e²=$\frac{5}{2}$（1舍去），
可得e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
由c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，注意運(yùn)用圓與雙曲線的方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．