Question

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)G＞0使對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為G函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①；
②f（x）=x²sinx；
③f（x）=2x（1-3^x）；
④f（x）是定義在R的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂，恒有|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|．
則其中是G函數(shù)的序號為________．

Answer 1

①④
分析：①x≠0時，||==||≤2=；
②x≠0時，||=|xsinx|，不存在常數(shù)G＞0，使得成立；
③x≠0時，||=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數(shù)G＞0，使得成立；
④當x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在
即可得到結論．
解答：①x≠0時，||==||≤2=，∴G=200，x=0也成立，故①為G函數(shù)；
②x≠0時，||=|xsinx|，不存在常數(shù)G＞0，使得成立；
③x≠0時，||=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數(shù)G＞0，使得成立；
④當x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在，故④正確；
故答案為：①④
點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．