Question

已知函數(shù)f（x），對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，且f（-1）=2
（1）求f（0）的值
（2）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求函數(shù)f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）證明：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（10分）
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，∴f（x₁-x₂）＞0∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[-2，1]上的最大值f_max（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，f_min（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）
分析：（1）令x=y=0，代入恒等式即可求f（0）的值；
（2）觀察發(fā)現(xiàn)令y=-x即可得到f（x）+f（-x）=0，將問(wèn)題等到證明．
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，利用f（x+y）=f（x）+f（y），及當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，這兩個(gè)條件即可證明出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性判斷出函數(shù)在何處取到最值以及利用恒等式結(jié)合f（-1）=2求出函數(shù)的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)中的條件靈活賦值構(gòu)造出奇函數(shù)成立的條件以及單調(diào)性證明中需要的條件．本題綜合性較強(qiáng)，賦值靈活，能力性要求較高，難題，本題易因?yàn)閷?duì)賦值沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致本題無(wú)法下手．