分析 (Ⅰ)求出橢圓的幾何量,即可求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)(ⅰ)求出向量的坐標(biāo),即可證明存在實數(shù)λ,使得→AM=λ→OP;
(ⅱ)消去參數(shù)k得點P的軌跡方程是x+3y-3=0(0<x<3),|OP|的最小值是原點O到直線x+3y-3=0的距離.
解答 (Ⅰ)解:∵當(dāng)k=3時,△ABM是直角三角形,
∴AM⊥BM,∴kAB=−13,
設(shè)B(0,-b),∴kAB=−3=−13,∴b=1,
∴橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2=1.
(Ⅱ)(�。┳C明:直線l1:y=k(x+3),∴M(0,3k)
{y=k(x+3)x2+9y2=9,∴(1+9k2)x2+54k2x+81k2-9=0,
∴xA+xC=−54k21+9k2,xA=−3∴xC=−54k21+9k2+3=3−27k21+9k2,
∴yC=k(xC+3)=6k1+9k2
直線l2:y=kx-1,∴N(1k,0)
{y=kx−1x2+9y2=9,∴(1+9k2)x2-18kx=0,
∴xB+xD=18k1+9k2,xB=0∴xD=18k1+9k2,
∴yD=kxD−1=9k2−11+9k2.
∵l1∥l2,設(shè)\overrightarrow{MP}=μ\overrightarrow{PN}則\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{PD},∴μ=\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_N}-{x_P}}}=\frac{{{x_P}-{x_C}}}{{{x_D}-{x_P}}}
∴{x_P}=\frac{{{x_M}•{x_D}-{x_N}•{x_C}}}{{{x_M}+{x_D}-{x_N}-{x_C}}}=\frac{{0×\frac{18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{1}{k}×\frac{{3-27{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}}{{0+\frac{18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{1}{k}-\frac{{3-27{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}}=\frac{3}{3k+1}
直線MN:y=-3k2x+3k,∴{y_P}=\frac{3k}{3k+1},
\overrightarrow{AM}=(3,3k),\overrightarrow{OP}=(\frac{3}{3k+1},\frac{3k}{3k+1}),∴存在實數(shù)λ=3k+1,使得\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{OP}
(ⅱ)解:消去參數(shù)k得點P的軌跡方程是x+3y-3=0(0<x<3),
∴|OP|的最小值是原點O到直線x+3y-3=0的距離d=\frac{{|{-3}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}.
點評 本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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A. | 若x2≥9,則x≥3或x≤-3 | B. | 若-3<x<3,則x2<9 | ||
C. | 若x>3或x<-3,則x2>9 | D. | 若x≥3或x≤-3,則x2≥9 |
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