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19.如圖,分別過橢圓L的左頂點A(-3,0)和下頂點B且斜率為k(k>0)的兩條直線l1和l2分別交橢圓L于點C,D,且l1交y軸于點M,l2交x軸于點N,且線段CD與線段MN相交于點P.當(dāng)k=3時,△ABM是直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)(�。┣笞C:存在實數(shù)λ,使得AMOP;
(ⅱ)求|OP|的最小值.

分析 (Ⅰ)求出橢圓的幾何量,即可求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)(ⅰ)求出向量的坐標(biāo),即可證明存在實數(shù)λ,使得AMOP
(ⅱ)消去參數(shù)k得點P的軌跡方程是x+3y-3=0(0<x<3),|OP|的最小值是原點O到直線x+3y-3=0的距離.

解答 (Ⅰ)解:∵當(dāng)k=3時,△ABM是直角三角形,
∴AM⊥BM,∴kAB=13,
設(shè)B(0,-b),∴kAB=3=13,∴b=1,
∴橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2=1
(Ⅱ)(�。┳C明:直線l1:y=k(x+3),∴M(0,3k)
{y=kx+3x2+9y2=9,∴(1+9k2)x2+54k2x+81k2-9=0,
xA+xC=54k21+9k2xA=3xC=54k21+9k2+3=327k21+9k2
yC=kxC+3=6k1+9k2
直線l2:y=kx-1,∴N1k0
{y=kx1x2+9y2=9,∴(1+9k2)x2-18kx=0,
xB+xD=18k1+9k2xB=0xD=18k1+9k2
yD=kxD1=9k211+9k2
∵l1∥l2,設(shè)\overrightarrow{MP}=μ\overrightarrow{PN}\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{PD},∴μ=\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_N}-{x_P}}}=\frac{{{x_P}-{x_C}}}{{{x_D}-{x_P}}}
{x_P}=\frac{{{x_M}•{x_D}-{x_N}•{x_C}}}{{{x_M}+{x_D}-{x_N}-{x_C}}}=\frac{{0×\frac{18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{1}{k}×\frac{{3-27{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}}{{0+\frac{18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{1}{k}-\frac{{3-27{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}}=\frac{3}{3k+1}
直線MN:y=-3k2x+3k,∴{y_P}=\frac{3k}{3k+1},
\overrightarrow{AM}=(3,3k),\overrightarrow{OP}=(\frac{3}{3k+1},\frac{3k}{3k+1}),∴存在實數(shù)λ=3k+1,使得\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{OP}
(ⅱ)解:消去參數(shù)k得點P的軌跡方程是x+3y-3=0(0<x<3),
∴|OP|的最小值是原點O到直線x+3y-3=0的距離d=\frac{{|{-3}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}

點評 本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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