Question

若函數(shù)f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），當x≥0時，f（x）=x²-2x，則不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當x≥0時，不等式xf（x）＞0即x（x²-2x）＞0，解得即可．由于函數(shù)f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．因此當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），于是不等式xf（x）＞0即-x（x²+2x）＞0，解出即可．

解答： 解：當x≥0時，不等式xf（x）＞0即x（x²-2x）＞0，解得x＞2．
∵函數(shù)f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），∴不等式xf（x）＞0即-x（x²+2x）＞0，
化為-（x+2）＞0，解得x＜-2．
綜上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、不等式的解法，屬于基礎題．