Question

（2008•黃岡模擬）拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N⁺），交x軸于An，Bn兩點(diǎn)，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₇B₂₀₀₇|的值為

2007

2008

．

Answer 1

分析：利用因式分解可將y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1化簡(jiǎn)為：y=（nx-1）[（n+1）x-1]，依題意可求得B_n（

1

n

，0），A_n（

1

n+1

，0），從而可求得|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

，于是可求所求式子的答案．

解答：解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
由y=0得：x=

1

n

或x=

1

n+1

．
∴B_n（

1

n

，0），A_n（

1

n+1

，0），
∴|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₇B₂₀₀₇|
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2007

-

1

2008

）
=1-

1

2008

=

2007

2008

．
故答案為：

2007

2008

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，求得|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．