Question

（2010•合肥模擬）某企業(yè)生產(chǎn)一種風(fēng)險(xiǎn)較大的高科技產(chǎn)品M，要用甲和乙兩種初級(jí)產(chǎn)品組合而成，甲和乙兩種初級(jí)產(chǎn)品生產(chǎn)相互獨(dú)立，每種初級(jí)產(chǎn)品生產(chǎn)結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)． 若隨機(jī)的選用甲、乙兩種初級(jí)產(chǎn)品各一個(gè)組裝成一個(gè)產(chǎn)品M，甲和乙兩種初級(jí)產(chǎn)品均為A級(jí)時(shí)組合而成產(chǎn)品M為合格品，其余均為次品．該廠在生產(chǎn)甲和乙兩種初級(jí)產(chǎn)品時(shí)的等級(jí)概率如表：
（Ⅰ）求該產(chǎn)品M為合格品的概率；
（Ⅱ）由于產(chǎn)品M受?chē)?guó)家強(qiáng)制認(rèn)證，只有合格品被允許進(jìn)入市場(chǎng)銷(xiāo)售，其余產(chǎn)品必須銷(xiāo)毀，已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品M可獲利1500萬(wàn)元，銷(xiāo)毀一件產(chǎn)品M損失400萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今年該廠生產(chǎn)甲、乙初級(jí)產(chǎn)品各3件，求今年該廠生產(chǎn)產(chǎn)品M獲純利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)甲產(chǎn)品合格，乙產(chǎn)品合格兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生時(shí)，產(chǎn)品M為合格品，故概率相乘即可；
（II）先設(shè)該廠生產(chǎn)合格品件數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ服從二項(xiàng)分布，從而求得ξ的期望，再利用隨機(jī)變量的線性關(guān)系求利潤(rùn)Y的期望

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“產(chǎn)品M為合格品”為事件X
則P（X）=

9

10

×

8

9

=

4

5

．
所以該產(chǎn)品M為合格品的概率

4

5

．
（Ⅱ）設(shè)今年該廠生產(chǎn)產(chǎn)品M為合格品、次品分別為ξ、3-ξ件，由題意可知ξ可取0、1、2、3，則

P(ξ=0)=(

1

5

)3=

1

53

，P(ξ=1)=

C

3 1

(

1

5

)2(

4

5

)1=

3×4

53

，P(ξ=2)=

C

3 2

(

1

5

)1(

4

5

)2=

3×42

53

，P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

5

)0(

4

5

)3=

43

53

∴ξ～B(3，

4

5

)，
則Eξ=3×

4

5

=

12

5

，E(3-ξ)=3-E(ξ)=3-

12

5

=

3

5

所以今年該廠生產(chǎn)產(chǎn)品M獲純利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=1500Eξ-400×E（3-ξ）=3360萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量間的線性關(guān)系及其應(yīng)用