Question

如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點．
（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的大�。�
（2）若二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

解：（1）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，ABCD是邊長為2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE為平行四邊形
∴DE∥BF
∠PBF是PB與DE的所成角
△PBF中，BF=，PF=，PB=3
∴
∴異面直線PB和DE所成角的大小為
（2）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，
可得如下點的坐標(biāo)：
P（0，0，a），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0）
則有：
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個法向量為m=（0，0，1）
設(shè)平面PFB的一個法向量為n=（x，y，z），則可得即
令x=1，得，所以
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得：
解得a=2．
因為PD是四棱錐P-ABCD的高，
∴其體積為
分析：（1）根據(jù)一對對邊平行且相等，得到一個四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（2）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出線段的長，根據(jù)條件中所給的兩個平面的二面角的值，求出設(shè)出的a的值，再求出四棱錐的體積．
點評：本題考查立體幾何的綜合問題，在題目中不是求二面角．二是乙二面角的大小為已知條件，求出圖形中的未知量，再進(jìn)行其他的運(yùn)算．