Question

橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)F與點(diǎn) 的距離為2。

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在斜率 的直線使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N滿足，若存在，求直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

 

 

Answer 1

(1) (2) 存在;或。

【解析】

試題分析：(1) 依題意，設(shè)橢圓方程為，然后解關(guān)于a、b、c的方程組即可．

(2) 由知點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由消去得

轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入方程求出k即可．

(1)依題意，設(shè)橢圓方程為，則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由，得，即，解得。 又 ∵ ，∴ ，即橢圓方程為。 (4分)

（2）方法一:由知點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由消去得即 （*） ( 5分)

由,得方程(*)的,即方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 (6分)

設(shè)、，線段MN的中點(diǎn)，則，，

，即

，∴直線的斜率為， (9分)

由，得，∴ ，解得：， (11分)

∴ l的方程為或。 ( 12分)

方法二:直線l恒過(guò)點(diǎn)(0,-2), 且點(diǎn)(0,-2)在橢圓上, ∴不妨設(shè)M(0,-2), 則|AM|=4 (6分)

∴|AN|=4, 故N在以A為圓心, 4為半徑的圓上,即在的圖像上．

聯(lián)立 化簡(jiǎn)得 ,解得 (8分)

當(dāng)y=-2時(shí),N和M重合,舍去．當(dāng)y=0時(shí),, 因此 (11分)

∴ l的方程為或。 ( 12分)

考點(diǎn)：橢圓的基本性質(zhì)；根與系數(shù)的關(guān)系；兩直線垂直的充要條件；斜率公式．