Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-kx，（k＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{1+}的前n項乘積為T_n，求證：．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=-k=（k＞0），
若f′（x）=0，則x=-1，又x≥0，
∴當(dāng)0＜k＜1時，-1＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)k=1，f′（x）=＜0，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)k＞1，在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）=＜0恒成立，故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）∵a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
∴=3，又a₁+2=3，
∴{a_n+2ⁿ}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
∴1+=1+，
要證T_n=（1+）（1+）…（1+）＜，
只要證ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜．
即證ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-＜0．①
由（1）知，當(dāng)k=1時，f（）=ln（1+）-，
∴f（）+f（）+…+f（）=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-（++…+），
∵{a_n}為正項數(shù)列，由（1）可知k=1時，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，＞0，
∴f（）＜f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-（++…+）＜0，
即ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（++…+），②
由①②知，只需證++…+＜即可．
∵=1，=＜（n≥2），
∴++…+＜1++…+=1+=1+-＜成立．
∴l(xiāng)n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜．
分析：（1）求得f′（x）=，根據(jù)其定義域，對k分類討論即可得f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）利用{a_n+2ⁿ}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列可求得a_n，從而可得1+，利用分析法，放縮法即可證得結(jié)論．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列遞推關(guān)系、放縮法、分析法等知識；同時考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力能力、探索數(shù)學(xué)交匯問題的解決策略；考查數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)、方程思想的綜合應(yīng)用．