【題目】已知a∈R,函數f(x)滿足f(2x)=x2﹣2ax+a2﹣1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并寫出f(x)的定義域;
(Ⅱ)若f(x)在 上的值域為[﹣1,0],求實數a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)令2x=t>0,則x=log2t,則 ,
即 .
定義域為:(0,+∞);
(Ⅱ)令g(x)=f(2x),則f(x)= ,
∴f(x)在 上的值域為[﹣1,0]等價于g(x)=x2﹣2ax+a2﹣1
在區(qū)間[a﹣1,a2﹣2a+2]上的值域為[﹣1,0].
∵g(a)=﹣1∈[﹣1,0],∴a∈[a﹣1,a2﹣2a+2],且g(x)在區(qū)間[a﹣1,a2﹣2a+2]上的最大值應在區(qū)間端點處取得.
又g(a﹣1)=0恰為g(x)在該區(qū)間上的最大值,故a必在區(qū)間右半部分,即 ,
解得 或
【解析】(Ⅰ)使用換元法令2x=t>0,則x=log2t代入即可求出;(Ⅱ)由題意,利用換元法將f(x)在 上的值域為[﹣1,0]等價于g(x)=x2﹣2ax+a2﹣1在區(qū)間[a﹣1,a2﹣2a+2]上的值域為[﹣1,0].從而求解可得實數a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識,掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數的值域中存在一個最。ù螅⿺,這個數就是函數的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮档淖钪蹬c值域,其實質是相同的.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規(guī)律,可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798年,英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型: ,其中x表示經過的時間, 表示x=0時的人口,r表示人口的平均增長率.
下表是1950―1959年我國人口數據資料:
如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率,用馬爾薩斯人口增長模型建立我國這一時期的具體人口增長模型,某同學利用圖形計算器進行了如下探究:
由此可得到我國1950―1959年我國這一時期的具體人口增長模型為____________. (精確到0.001)
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【題目】已知函數 f(x)=x﹣ln x﹣2.
(Ⅰ)求函數 f ( x)的最小值;
(Ⅱ)如果不等式 x ln x+(1﹣k)x+k>0(k∈Z)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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【題目】已知冪函數f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,滿足:
(1)f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的增函數;
(2)對任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同時滿足條件(1)、(2)的冪函數f(x)的解析式,并求x∈[0,3]時,f(x)的值域.
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【題目】已知圓M:(x﹣1)2+y2= ,橢圓C: +y2=1,若直線l與橢圓交于A,B兩點,與圓M相切于點P,且P為AB的中點,則這樣的直線l有( )
A.2條
B.3條
C.4條
D.6條
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【題目】如圖,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,M、N分別是AB、PC的中點.
(1)求證:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知冪函數f(x)=xa的圖象經過點.
(1)求函數f(x)的解析式,并判斷奇偶性;
(2)判斷函數f(x)在(﹣,0)上的單調性,并用單調性定義證明.
(3)作出函數f(x)在定義域內的大致圖象(不必寫出作圖過程).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】橢圓Γ: =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , 焦距為2c,若直線y= 與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 , 則該橢圓的離心率等于 .
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