Question

甲、乙、丙三人參加浙江衛(wèi)視的“我愛記歌詞”節(jié)目，三人獨(dú)立闖關(guān)，互不影響．其中甲過(guò)關(guān)而乙不過(guò)關(guān)的概率是

1

4

，乙過(guò)關(guān)而丙不過(guò)關(guān)的概率是

1

12

，甲、丙均過(guò)關(guān)的概率為

2

9

．記ξ為節(jié)目完畢后過(guò)關(guān)人數(shù)和未過(guò)關(guān)人數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）求甲、乙、丙三人各自過(guò)關(guān)的概率；
（2）理科：求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
     文科：求ξ取最小值時(shí)的概率；
（3）理科：設(shè)“函數(shù)f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R”為事件D，試求事件D的概率．
     文科：設(shè)“不等式x²-ξx+1＜0對(duì)一切x∈[1，2]均成立”為事件D，試求事件D的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)甲、乙、丙三人各自過(guò)關(guān)分別為事件A、B、C，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式建立方程組，解之即可；
（2）理科：三人過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)地三人未過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，得到概率分布，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
文科：三人過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為0，1，2，3．相應(yīng)地三人未過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出概率進(jìn)行比較即可；
（3）理科：欲使函數(shù)f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，只需ξ＞0且△≥0解之即可；
文科：由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），將ξ分離根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究不等式另一側(cè)的最大值，從而求出所求．

解答：解：（1）設(shè)甲、乙、丙三人各自過(guò)關(guān)分別為事件A、B、C
由題設(shè)條件有

P(A• B )= 1 4 P(B• C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

即

P(A)•(1-P(B))= 1 4      ① P(B)•(1-P(C))= 1 12     ② P(A)•P(C)= 2 9 .                ③

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)代入②得  27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P(C)=

2

3

或

11

9

（舍去）．
將P(C)=

2

3

，分別代入 ③、②可得P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

．
即甲、乙、丙三人各自過(guò)關(guān)的概率分別是

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（6分）
（2）【理科】三人過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為0，1，2，3．相應(yīng)地，三人未過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取
值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．…（7分）
P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

2

9

ξ	1	3
P	7 9	2 9

P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

…（8分）
所以ξ的分布列為：
Eξ=1×

7

9

+3×

2

9

=

13

9

（人）…（10分）
【文科】三人過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取值為0，1，2，3．相應(yīng)地，三人未過(guò)關(guān)的人數(shù)可能取
值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．
因?yàn)镻（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

），
=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)）=

2

9

，
所以ξ取最小值1時(shí)，P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

．…（10分）
（3）【理科】欲使函數(shù)f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，
只需ξ＞0且△=(ξ-1)2-4×ξ×

1

4

=ξ2-3ξ+1≥0即可．
解得ξ≤

3- 5

2

（舍）或ξ≥

3+ 5

2

，那么P(D)=P(ξ≥

3+ 5

2

)=P(ξ=3)=

2

9

，
所以事件D的概率為

2

9

．（也可以直接將ξ分別取1，3時(shí)代入△≥0即可）．…（14分）
【文科】由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得ξ＞x+

1

x

，
設(shè)g(x)=x+

1

x

，x∈[1，2]，g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
由題意，只需ξ＞g（x）_max=g（2）=2.5即可．
所以P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)=

2

9

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和期望，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和函數(shù)的值域等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化是思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．