Question

20．已知a²-a＜2，且a∈N^*，求函數(shù)f（x）=x+$\frac{2a}{x}$的值域．

Answer 1

分析 由不等式解出a的值，代入函數(shù)f（x），利用基本不等式的性質可得值域．

解答 解：由題意：a²-a＜2，
解得：-1＜a＜2
∵a∈N^*，
∴a=1，
則函數(shù)f（x）=$x+\frac{2}{x}$，
當x＞0時，$x+\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=$2\sqrt{2}$，（當且僅當x=$\sqrt{2}$時取等號）
當x＜0時，$x+\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=-$2\sqrt{2}$，（當且僅當x=-$\sqrt{2}$時取等號）
故得函數(shù)函數(shù)f（x）=$x+\frac{2}{x}$的值域為（-∞，$-2\sqrt{2}$]∪[$2\sqrt{2}$，+∞），

點評 本題考查了不等式的解法，利用利用基本不等式的性質求值域．屬于基礎題．