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20.已知雙曲線x22-y25=1,直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)為(-23,-53),則直線l的方程是y=x-1.

分析 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),代入雙曲線的方程,兩式相減,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式,可得直線l的斜率,再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程,代入雙曲線的方程,檢驗(yàn)即可得到所求方程.

解答 解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
代入雙曲線的方程可得
x122-y125=1,x222-y225=1,
相減可得x1x2x1+x22=y1y2y1+y25
由題意可得x1+x2=-43,y1+y2=-103,
代入上式,可得kMN=y1y2x1x2=5x1+x22y1+y2=5×432×103=1,
即有直線l的方程為y+53=x+23
即為y=x-1.
由y=x-1代入雙曲線的方程可得3x2+4x-12=0,
由判別式為16+144>0,則直線存在.
故答案為:y=x-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查中點(diǎn)弦所在直線方程的求法,注意運(yùn)用點(diǎn)差法,考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式及直線的方程的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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