Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{5}{3}$），則直線l的方程是y=x-1．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程，代入雙曲線的方程，檢驗(yàn)即可得到所求方程．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
代入雙曲線的方程可得
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}$=1，
相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{5}$，
由題意可得x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=-$\frac{10}{3}$，
代入上式，可得k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{5×（-\frac{4}{3}）}{2×（-\frac{10}{3}）}$=1，
即有直線l的方程為y+$\frac{5}{3}$=x+$\frac{2}{3}$，
即為y=x-1．
由y=x-1代入雙曲線的方程可得3x²+4x-12=0，
由判別式為16+144＞0，則直線存在．
故答案為：y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中點(diǎn)弦所在直線方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式及直線的方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．